Как найти наибольший общий делитель (НОД) + свойства, формулы

Что такое общие делители

Чтобы понять, что из себя представляет наибольший общий делитель, сначала сформулируем, что вообще такое общий делитель для целых чисел.

В статье о кратных и делителях мы говорили, что у целого числа всегда есть несколько делителей. Здесь же нас интересуют делители сразу некоторого количества целых чисел, особенно общие (одинаковые) для всех. Запишем основное определение.

Определение 1

Общим делителем нескольких целых чисел будет такое число, которое может быть делителем каждого числа из указанного множества.

Пример 1

Вот примеры такого делителя: тройка будет общим делителем для чисел -12 и 9, поскольку верны равенства 9=3·3 и −12=3·(−4). У чисел 3 и -12 есть и другие общие делители, такие, как 1, −1 и −3. Возьмем другой пример. У четырех целых чисел 3, −11, −8 и 19 будет два общих делителя: 1 и -1.

Зная свойства делимости, мы можем утверждать, что любое целое число можно разделить на единицу и минус единицу, значит, у любого набора целых чисел уже будет как минимум два общих делителя.

Также отметим, что если у нас есть общий для нескольких чисел делитель b, то те же числа можно разделить и на противоположное число, то есть на b.  В принципе, мы можем взять лишь положительные делители, тогда все общие делители также будут больше . Такой подход также можно использовать, однако совсем игнорировать отрицательные числа не следует.

Наименьшее общее кратное

Из предыдущего урока мы знаем, что если какое-то число без остатка разделилось на другое, его называют кратным этого числа.

Оказывается, кратное может быть общим у нескольких чисел. И сейчас нас будет интересовать кратное двух чисел, причем оно должно быть максимально маленьким.

Определение. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел a и b — это наименьшее число, которое кратно a и b. Другими словами, это такое маленькое число, которое делится без остатка на число a и число b.

Определение содержит две переменные a и b. Давайте подставим вместо этих переменных любые два числа. Например, вместо переменной a подставим число 9, а вместо переменной b подставим число 12. Теперь попробуем прочитать определение:

Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 9 и 12 — это наименьшее число, которое кратно 9 и 12. Другими словами, это такое маленькое число, которое делится без остатка на число 9 и на число 12.

Из определения понятно, что наименьшее общее кратное это наименьшее число, которое делится без остатка на 9 и на 12. Это наименьшее общее кратное требуется найти.

Для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) можно пользоваться тремя способами. Первый способ заключается в том, что можно выписать первые кратные двух чисел, а затем выбрать среди этих кратных такое число, которое будет общим для обоих чисел и маленьким. Давайте применим этот способ.

В первую очередь, найдем первые кратные для числа 9. Чтобы найти кратные для 9, нужно эту девятку поочерёдно умножить на числа от 1 до 9. Получаемые ответы будут кратными для числа 9.

Итак, начнём. Кратные будем выделять синим цветом:

Теперь находим кратные для числа 12. Для этого поо

Теперь находим кратные для числа 12. Для этого поочерёдно умножим число 12 на все числа 1 до 12:

Теперь выпишем кратные обоих чисел:

Теперь выпишем кратные обоих чисел:

Теперь найдём общие кратные обоих чисел. Найдя, ср

Теперь найдём общие кратные обоих чисел. Найдя, сразу подчеркнём их:

Общими кратными для чисел 9 и 12 являются кратные

Общими кратными для чисел 9 и 12 являются кратные 36 и 72. Наименьшим же из них является 36.

Значит наименьшее общее кратное для чисел 9 и 12 это число 36. Данное число делится на 9 и 12 без остатка:

36 : 9 = 4

36 : 12 = 3

НОК (9 и 12) = 36

Видео

Годы национально-освободительного движения в истории России

В России за тысячелетнюю историю было несколько случаев полного либо частичного попадания под внешнее управление:

– монголо-татарское иго;

– Смутное время: конец XVI — начало XVII века, с кульминацией в 1612 году;

– взятие Наполеоном Москвы и оккупация части страны;

– иностранная интервенция во время гражданской войны;

– оккупация Германией части СССР во время Великой Отечественной войны.

Потеря суверенитета, оккупация подождала годы упорного национально-освободительного движения, объединяющее подавляющей частью общества. Оно приводило к восстановлению суверенитета страны в её границах.

Ключевую роль в национально-освободительных процессах играло восприятие людьми Отечества как ценности, стоящей выше личных интересов. Обратное состояние, при котором личные интересы ставились выше Отечества, приводило к сдаче страны в оккупации. 

Третий способ нахождения НОД

Теперь рассмотрим третий способ нахождения наибольшего общего делителя. Суть данного способа заключается в том, что числа подлежащие поиску наибольшего общего делителя раскладывают на простые множители. Затем из разложения первого числа вычеркивают множители, которые не входят в разложение второго числа. Оставшиеся числа в первом разложении перемножают и получают НОД.

Пример 1. Найти НОД чисел 28 и 16.

В первую очередь, раскладываем числа 28 и 16 на простые множители:

Получили два разложения:  и 

Получили два разложения: Теперь из разложения первого числа вычеркнем множи и Теперь из разложения первого числа вычеркнем множи

Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входит семёрка. Её и вычеркнем из первого разложения:

Теперь перемножаем оставшиеся множители и получаем

Теперь перемножаем оставшиеся множители и получаем НОД:

Число 4 является наибольшим общим делителем чисел

Число 4 является наибольшим общим делителем чисел 28 и 16. Оба этих числа делятся на 4 без остатка:

28 : 4 = 7

16 : 4 = 4

 НОД (28 и 16) = 4

Пример 2. Найти НОД чисел 100 и 40

Раскладываем на множители число 100

Раскладываем на множители число 40

Раскладываем на множители число 40

Получили два разложения: 2 × 2 × 5 × 5 и 2 × 2 × 2

Получили два разложения: 2 × 2 × 5 × 5 и 2 × 2 × 2 × 5

Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входит одна пятерка (там только одна пятёрка). Её и вычеркнем из первого разложения

Перемножим оставшиеся числа:

Перемножим оставшиеся числа:

Получили ответ 20. Значит число 20 является наибол

Получили ответ 20. Значит число 20 является наибольшим общим делителем чисел 100 и 40. Эти два числа делятся на 20 без остатка:

100 : 20 = 5

40 : 20 = 2

 НОД (100 и 40) = 20.

Пример 3. Найти НОД чисел 72 и 128

Раскладываем на множители число 72

Раскладываем на множители число 128

Раскладываем на множители число 128

2 × 2 × 2 × 3 × 3 и 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2Получили два разложения: 2 × 2 × 2 × 3 × 3 и 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2.

Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входят две тройки (там их вообще нет). Их и вычеркнем из первого разложения:

Перемножим оставшиеся числа:

Перемножим оставшиеся числа:

Получили ответ 8. Значит число 8 является наибольш

Получили ответ 8. Значит число 8 является наибольшим общим делителем чисел 72 и 128. Эти два числа делятся на 8 без остатка:

72 : 8 = 9

128 : 8 = 16

 НОД (72 и 128) = 8

Конфликты и скандалы

Нападения на активистов НОД

Фиксировались случаи нападения на самих активистов НОД. Так, осенью 2014 года было два нападения на представителей движения. В Санкт-Петербурге во время пикета в поддержку президента и губернатора неизвестный распылил газовый баллончик в лицо активистов НОД Владислава Николаева и Александра Кравец. В октябре 2014 года в Москве во время пикета у офиса РПР-ПАРНАС неизвестные брызнули в лицо активистам перцовым баллончиком и ударили Марию Катасонову[7].

Срыв презентации альманаха Moloko plus

В сентябре 2018 года полицейские Нижнего Новгорода сорвали презентацию альманаха Moloko plus и отправили изъятые издания на экспертизу по экстремизму, в качестве аргумента используя заявление активиста НОД Романа Овсянникова. В нём он с фактологическими ошибками, не ознакомившись с содержимым издания, утверждал, что на грядущей презентации «могут распространяться материалы экстремистского характера». На проведение экспертизы издания обычно уходил один год, за два месяца презентация Moloko plus трижды срывалась в разных городах[65].

Теги

Adblock
detector