Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Скалярное произведение

Скалярное произведение (англ. dot product) двух векторов равно произведению их длин и косинуса угла между ними. Для него справедлива следующая формула:

Она доказывается муторно и чисто технически, так что мы это делать не будем.

Геометрически, она равна проекции вектора $b$ на вектор $a$, помноженный на длину $а$:

Полезные свойства:

  • Скалярное произведение симметрично ($a \cdot b = b \cdot a$).
  • Перпендикулярные вектора должны иметь нулевое скалярное произведение.
  • Если угол острый, то скалярное произведение положительное.
  • Если угол тупой, то скалярное произведение отрицательное.

Добавим в нашу реализацию отдельный оператор для него:

Видео

Двойное векторное произведение

Определение.

Выражение \([\boldsymbol{a}, [\boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}]]\) называется двойным векторным произведением.

Лемма.

$$ [\boldsymbol{a} [\boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}]] = (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{c}) \boldsymbol{b}-(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}) \boldsymbol{c}.\label{ref26} $$

Доказательство. Выберем правый ортонормированный базис \((\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{e}_{3})\) так, чтобы \(\boldsymbol{e}_{1}\) был коллинеарен \(\boldsymbol{b}\), а \(\boldsymbol{e}_{2}\) был компланарен \(\boldsymbol{b}\) и \(\boldsymbol{c}\). Тогда \(\boldsymbol{b} = \beta \boldsymbol{e}_{1}\), \(\boldsymbol{c} = \gamma_{1} \boldsymbol{e}_{1} + \gamma_{1} \boldsymbol{e}_{2}\) и \(\boldsymbol{a} = \alpha_{1} \boldsymbol{e}_{1} + \alpha_{2} \boldsymbol{e}_{2} + \alpha_{3} \boldsymbol{e}_{3}\). Отсюда получаем \([\boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}] = \beta\gamma_{2}\boldsymbol{e}_{3}\) и $$ [\boldsymbol{a} [\boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}]] = -\alpha_{1}\beta\gamma_{2}\boldsymbol{e}_{2} + \alpha_{2}\beta\gamma_{2}\boldsymbol{e}_{1}.\nonumber $$ С другой стороны, $$ (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{c}) \boldsymbol{b} = (\alpha_{1}\gamma_{1} + \alpha_{2}\gamma_{2})\beta\boldsymbol{e}_{1},\ (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}) \boldsymbol{c} = \alpha_{1}\beta(\gamma_{1}\boldsymbol{e}_{1} + \gamma_{2}\boldsymbol{e}_{2}).\nonumber $$ Разность правых частей двух последних равенств совпадает с найденным выше двойным векторным произведением. Это заканчивает доказательство.

О направлении

Направление – одна из важнейших характеристик движения.

Подумай, какие из этих величин являются просто числами, а какие тоже являются числами, но имеют еще и направление.

  • сила;
  • время;
  • скорость;
  • длина;
  • перемещение;
  • масса;
  • температура;

Наверное, ты без труда заметил, что направление имеют сила, скорость, перемещение, а время, длина, масса и температура – это просто числа.

Так вот, «просто числа» — это скалярные величины (их также называют скалярами).

А «числа с направлением» — это векторные величины (их иногда называют векторы).

В физике существует множество скалярных и векторных величин.

О векторных величинах

В приложениях математики часто рассматриваются величины, изображаемые векторами: силы, скорости, моменты сил и так далее. Векторам, изображающим такие величины, приписывается размерность. Не вдаваясь в существо дела, мы ограничимся изложением формальных правил действий с размерностями.

С формальной точки зрения, размерность — это одночлен, составленный из какого-то набора символов. Такие одночлены перемножаются и делятся, как обычные одночлены. Имеют место следующие правила действий с векторными величинами:

  • Модуль векторной величины имеет ту же размерность, что и сама величина.
  • Складывать векторные величины можно только в том случае, когда их размерности совпадают. При этом размерность суммы та же, что и у слагаемых.
  • При умножении векторной величины на скалярную их размерности перемножаются.
  • Скалярное, векторное и смешанное произведения имеют размерность, равную произведению размерностей сомножителей. Это легко следует из первого правила, определений скалярного и векторного произведений и формулы \eqref{ref10}.

Для того чтобы изобразить векторную величину на чертеже, мы должны условиться о масштабе: сколькими единицами длины (например, см) мы будем изображать одну единицу данной размерности (например, км, м/с, Н).

Если в векторном произведении сомножители имеют размерность длины, то произведение имеет размерность площади. Масштаб для изображения единиц площади выбирается так, чтобы одна единица площади изображалась одной линейной единицей. При этом длина векторного произведения будет численно равна площади параллелограмма, построенного на сомножителях.

Поскольку единица длины у нас выбрана и не меняется, указанное соглашение ни к каким противоречиям привести не может. Однако оно не так безобидно, как может показаться. Именно, два математика, пользующиеся этим соглашением, но разными единицами длины (например, француз, пользующийся сантиметрами, и англичанин — дюймами), для одних и тех же векторов нарисуют несовпадающие векторные произведения. Как связаны длины этих произведений, если дюйм равен примерно 2,5 см?

Теги

Adblock
detector