Что такое математика?

Похожие темы научных работ по философии, этике, религиоведению , автор научной работы — Антаков С. М

Видео

Структуры и изоморфизм

Предыдущие примеры показывают, насколько разнообразной может быть природа объектов, образующих группу. Но на самом деле в каждом случае все сводится к одному и тому же сценарию: из свойств множества объектов мы рассматриваем лишь те, которые превращают это множество в группу (вот пример неполноты знания!). В таких случаях говорят, что мы рассматриваем групповую структуру, заданную выбранным нами групповым умножением.

Еще один пример структуры – т.н. структура порядка. Множество E наделено структурой порядка, или упорядочено, если между элементами a è b, принадлежащими E, задано некоторое отношение, которое мы обозначим R (a,b). (Такое отношение должно иметь смысл для любой пары элементов из Е, но в общем случае оно ложно для одних пар и истинно для других, например, отношение 7 < 3 ложно для пары чисел 3 и 7, а отношение 3 < 7 для той же пары чисел истинно.) Отношение обладает следующими свойствами:

(1) R (a,a) истинно для каждого а, принадлежащего Е;

(2) из R (a,b) и R (b,a) следует, что a = b;

(3) из R (a,b) и R (b,c) следует R (a,c).

Приведем несколько примеров из огромного числа разнообразных упорядоченных множеств.

(а) E состоит из всех целых чисел, R (a,b) – отношение «а меньше или равно b».

(b) Е состоит из всех целых чисел >1, R (a,b) – отношение «а делит b или равно b».

(c) Е состоит из всех кругов на плоскости, R (a,b) – отношение «круг a содержится в b или совпадает с b».

В качестве последнего примера структуры упомянем структуру метрического пространства; такая структура задается на множестве Е, если каждой паре элементов a и b, принадлежащих E, можно поставить в соответствие число d (a,b) і 0, удовлетворяющее следующим свойствам:

(1) d (a,b) = 0 в том и только том случае, когда a = b;

(2) d (b,a) = d (a,b);

(3) d (a,c) Ј d (a,b) + d (b,c) для любых трех заданных элементов a, b, c из E.

Приведем примеры метрических пространств:

(a) обычное «трехмерное» пространство, где d (a,b) – обычное (или «евклидово») расстояние;

(b) поверхность сферы, где d (a,b) – длина наименьшей дуги круга, соединяющей две точки a и b на сфере;

(c) любое множество E, для которого d (a,b) = 1, если a № b; d (a,a) = 0 для любого элемента a.

Точное определение понятия структуры довольно сложно. Не вдаваясь в подробности, можно сказать, что на множестве Е задана структура определенного типа, если между элементами множества Е (а иногда и другими объектами, например числами, которые играют вспомогательную роль) заданы отношения, удовлетворяющие некоторому фиксированному набору аксиом, характеризующему структуру рассматриваемого типа. Выше мы привели аксиомы трех типов структур. Разумеется, существуют многие другие типы структур, теории которых полностью разработаны.

С понятием структуры тесно связаны многие абстрактные понятия; назовем лишь одно из наиболее важных – понятие изоморфизма. Вспомним пример групп (b) и (c), приведенных в предыдущем разделе. Нетрудно проверить, что от табл. 1 к табл. 2 можно перейти с помощью соответствия

0 ® 1, 1 ® 2, 2 ® 4, 3 ® 3.

В этом случае мы говорим, что данные группы изоморфны. В общем случае две группы G и Gў изоморфны, если между элементами группы G и элементами группы Gў можно установить такое взаимно однозначное соответствие a « aў, что если c = a*b, то cў = aў*bў для соответствующих элементов Gў. Любое утверждение из теории групп, справедливое для группы G, остается в силе и для группы Gў, и наоборот. Алгебраически группы G и Gў неразличимы.

Читатель без труда убедится, что точно так же можно определить два изоморфных упорядоченных множества или два изоморфных метрических пространства. Можно показать, что понятие изоморфизма распространяется на структуры любого типа.

Понятие числа. Виды чисел

В понятие числа входит обозначение количественного состава чего-либо.Это одно из главных определений в математике. Каждый вид числа появлялся в результате необходимости выполнения человеком тех или иных расчетов. В связи с необходимостью владеть информацией о количестве предметов, появилось понятие натурального числа и бесконечности ряда натуральных чисел. Необходимость измерения площадей, длин, объемов — породила рациональное число. Для решения сложных уравнений ввели комплексные числа.

• Натуральные числа — это числа, получаемые при определении количества 1,2,3. Множество таких чисел принято обозначать буквой N. Например: 1,2,3 …..
• Целые числа. Определение понятия формулируется так: множество натуральных, отрицательных чисел и нуль. Их принято обозначать буквой Z. Например: -2,-1,0,1,2,3,4…..
• Рациональные числа. В понятие рационального числа входят дроби m/n, где n≠0, при этом m — целое число, а n — натуральное. Обозначаются буквой Q. Например: 2/3, -4/5
• Действительные. В понятие действительного числа включены рациональные и иррациональные числа, которые могут записываться в виде обычной и десятичной конечной и бесконечной дробей, а также нуль. Обозначаются буквой R. Например: 1245, 5⅔, -648,35
• Простыми называют натуральные числа, которые можно представить в виде двух множителей — единицы и самого этого числа. Обозначается буквой Р. Например: 1,3,7,11….
• Также существуют Иррациональные числа – это числа, не являющиеся рациональными, то есть нельзя представить в виде дроби m/n, где n≠0, при этом m — целое число, а n — натуральное. Например, число  пи=3,1415926535, число e=2.718281828, квадратный корень из 3 и так далее.

Математика – наука или искусство?

Даже если мы включим в «чистую» математику теорию вероятностей или математическую логику, выяснится, что в настоящее время другие науки используют менее 50% известных математических результатов. Что же мы должны думать об оставшейся половине? Иначе говоря, какие мотивы стоят за теми областями математики, которые не имеют отношения к решению физических проблем?

Мы уже упоминали об иррациональности числа как о типичном представителе такого рода теорем. Другим примером может служить теорема, доказанная Ж.-Л.Лагранжем (1736–1813). Вряд ли найдется математик, который бы не назвал ее «важной» или «красивой». Теорема Лагранжа утверждает, что любое целое число, большее или равное единице, может быть представлено в виде суммы квадратов не более чем четырех чисел; например, 23 = 3² + 3² + 2² + 1². При существующем ныне положении вещей немыслимо, чтобы этот результат мог пригодиться при решении какой-нибудь экспериментальной задачи. Правда, физики имеют дело с целыми числами сегодня гораздо чаще, чем в прошлом, но целые числа, которыми они оперируют, всегда ограничены (они редко превышают несколько сотен); следовательно, такая теорема, как теорема Лагранжа, может быть «полезна» только в том случае, если применять ее к целым числам, не переходящим некоторой границы. Но стоит нам ограничить формулировку теоремы Лагранжа, как она сразу перестает быть интересной для математика, поскольку вся притягательная сила этой теоремы заключается в ее применимости ко всем целым числам. (Существует великое множество утверждений о целых числах, которые можно проверить с помощью компьютеров для очень больших чисел; но, коль скоро общего доказательства не найдено, они остаются гипотетическими и не интересны профессиональным математикам.)

Сосредоточенность на темах, далеких от непосредственных приложений, не является чем-то необычным для ученых, работающих в любой области, будь то астрономия или биология. Однако, в то время как экспериментальный результат можно уточнить и улучшить, математическое доказательство всегда носит окончательный характер. Именно поэтому трудно удержаться от искушения рассматривать математику, или по крайней мере ту ее часть, которая не имеет отношения к «реальности», как искусство. Математические проблемы не навязываются извне, и, если принять современную точку зрения, мы совершенно свободны в выборе материала. При оценке некоторых математических работ у математиков нет «объективных» критериев, и они вынуждены полагаться на собственный «вкус». Вкусы же сильно меняются в зависимости от времени, страны, традиций и отдельных личностей. В современной математике существуют мода и «школы». В настоящее время имеются три такие «школы», которые мы для удобства назовем «классицизмом», «модернизмом» и «абстракционизмом». Чтобы лучше понять различия между ними, проанализируем различные критерии, которыми пользуются математики, когда оценивают теорему или группу теорем.

(1) По общему мнению, «красивый» математический результат должен быть нетривиальным, т.е. не должен быть очевидным следствием аксиом или ранее доказанных теорем; в доказательстве должна использоваться какая-то новая идея или остроумно применены старые представления. Иначе говоря, для математика важен не сам результат, а процесс преодоления трудности, с которыми он столкнулся при его получении.

(2) У любой математической проблемы имеется своя история, так сказать «родословная», которая следует той же общей схеме, по которой развивается история любой науки: после первых успехов может пройти определенное время, прежде чем будет найден ответ на поставленный вопрос. Когда решение получено, история на этом не заканчивается, ибо начинаются известные процессы расширения и обобщения. Например, упоминавшаяся выше теорема Лагранжа приводит к вопросу о представлении любого целого числа в виде суммы кубов, четвертых, пятых степеней и т.д. Так возникает «проблема Варинга», до сих пор не получившая окончательного разрешения. Кроме того, если нам повезет, решенная нами проблема окажется связанной с одной или несколькими фундаментальными структурами, а это, в свою очередь, приведет к новым проблемам, связанным с этими структурами. Даже если первоначальная теория в конце концов «умирает», она, как правило, оставляет после себя многочисленные живые побеги. Современные математики столкнулись с такой необозримой россыпью задач, что, даже если бы прервалась всякая связь с экспериментальной наукой, их решение заняло бы еще несколько столетий.

(3) Каждый математик согласится с тем, что, когда перед ним возникает новая задача, его обязанность – решить ее любыми возможными средствами. Когда задача касается классических математических объектов (классицисты редко имеют дело с другими типами объектов), классицисты пытаются решить ее, используя только классические средства, в то время как другие математики вводят более «абстрактные» структуры с тем, чтобы использовать общие теоремы, имеющие отношение к задаче. Это различие подходов не ново. Начиная с 19 в. математики делятся на «тактиков», стремящихся найти чисто силовое решение проблемы, и на «стратегов», склонных к обходным маневрам, дающим возможность сокрушить противника малыми силами.

(4) Существенным элементом «красоты» теоремы является ее простота. Разумеется, поиск простоты свойствен всей научной мысли. Но экспериментаторы готовы примириться с «некрасивыми решениями», лишь бы задача была решена. Точно так же и в математике классицисты и абстракционисты не очень обеспокоены появлением «патологических» результатов. С другой стороны, модернисты заходят так далеко, что усматривают в появлении «патологий» теории симптом, свидетельствующий о несовершенстве основополагающих понятий.

Теги