Значение слова ГЕОМЕТРИЯ. Что такое ГЕОМЕТРИЯ?

Понятие о геометрии

Под этой наукой понимают ветвь математики, которая занимается изучением свойств разных фигур на плоскости и в пространстве. Само слово «геометрия» с древнегреческого языка означает «измерение земли», то есть любые реальные или воображаемые объекты, которые имеют конечную длину вдоль хотя бы одной из трех осей координат (наше пространство является трехмерным), подвергаются изучению рассматриваемой наукой. Можно сказать, что геометрия — математика пространства и плоскости.

В ходе своего развития геометрия обзавелась набором понятий, которыми она оперирует с целью решения различных задач. К таким понятиям относятся точка, прямая, плоскость, поверхность, отрезок, окружность, кривая, угол и другие. Основой этой науки являются аксиомы, то есть концепции, связывающие геометрические понятия в рамках утверждений, которые принимаются в качестве истинных. На основании аксиом строятся и доказываются теоремы.

Видео

Новое время

За последние 300 лет доказательная геометрия была существенно расширена, а по своим методам и степени общности результатов она стала заметно отличаться от элементарной геометрии (т.е. геометрии, изложенной в Началах). Французский математик Ж.Дезарг (1593–1662) в связи с развитием учения о перспективе занялся исследованием свойств геометрических фигур в зависимости от их проекций. Тем самым он заложил основу проективной геометрии, которая изучает те свойства фигур, которые остаются неизменными при различных проекциях. В 19 в. это направление получило существенное развитие. Проективная геометрия, конические сечения и новая геометрия треугольников и окружностей составили содержание современной т.н. чистой геометрии.

Тесно связанная с проективной, начертательная геометрия была введена французским математиком Г.Монжем (1746–1818). Эта новая область геометрии была связана с представлением изображений геометрических фигур на плоскости и определением геометрическими средствами расстояний, углов и линий пересечения. Начертательная геометрия представляет собой основу технического черчения.

В 1637 Р.Декарт (1596–1650), французский философ и математик, опубликовал свою Геометрию – первый труд по аналитической геометрии, позволивший применить в геометрии мощные алгебраические методы. Геометрические задачи всех видов теперь могли решаться в рамках единого подхода; кроме того, благодаря новым методам стала возможной постановка и решение новых задач, о которых древние не могли даже помыслить, но которые ныне находятся в самом центре математики и математической физики.

Со времен первого появления Начал математики тщетно пытались доказать пятый постулат Евклида: через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую, ей параллельную. В 19 в. было доказано, что можно построить непротиворечивую геометрию, используя все аксиомы и постулаты Евклида и отрицание постулата о параллельных, а это означало, что искомого доказательства пятого постулата не существует. Любая такая непротиворечивая геометрия получила название неевклидовой геометрии. Около 1830 Я.Бойяи (1802–1860) и Н.И.Лобачевский (1792–1856) независимо друг от друга построили геометрию, использовавшую постулат, согласно которому через точку, лежащую вне прямой, можно провести много прямых, ей параллельных. В 1854 Б.Риман (1826–1866) сформулировал постулат, согласно которому через точку вне прямой невозможно провести ни одной параллельной, что дало начало т.н. римановой геометрии. Неевклидова математика расширилась и стала включать в себя тригонометрию, аналитическую и дифференциальную геометрии, охватив не только планиметрию, но и стереометрию, а также геометрию пространств размерности больше трех (геометрию гиперпространств). Евклидова и обе неевклидовы геометрии одинаково хорошо служат для описания той ограниченной области пространства, в которой мы живем, хотя геометрия Евклида проще по форме. В то же время при переходе к римановой геометрии некоторые современные физические теории существенно упрощаются. См. также МАТЕМАТИКИ ИСТОРИЯ.

Углы

Углом называется фигура, образованная двумя полупрямыми, исходящими из одной точки. Эта точка называется вершиной угла, а полупрямые – сторонами угла. Если стороны угла перпендикулярны друг другу, то образуемый ими угол называется прямым (рис. 2,а). Углы меньше прямого называются острыми (рис. 2,б), а углы больше прямого – тупыми (рис. 2,в). Развернутым называется угол, обе стороны которого лежат на одной прямой (рис. 2,г); такой угол равен двум прямым углам. Биссектрисой угла называется прямая, проходящая через его вершину и делящая угол пополам. Углы можно измерять количественно, если определить единицу измерения угла (угол в один градус) как 1/180 развернутого угла. Таким образом, прямой угол содержит 90°, а угол на рис. 2,д содержит больше 180°, но меньше 360°.

На рис. 2,е, 2,ж, 2,з и 2,и показано, как соотносятся между собой углы некоторых фигур. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого (рис. 2,е). Вертикальные углы равны. Дополнительные углы в сумме составляют 90° (рис. 2,ж), а смежные углы в сумме дают 180° (рис. 2,з). Если прямая пересекает две параллельные прямые, как на рис. 2,и, то углы E, B, C и H равны, и углы F, A, D и G также равны между собой. Углы между параллельными (углы А, В, С, D на рисунке) называются внутренними, а углы, лежащие вне параллельных – внешними. Тот факт, что параллельные образуют с пересекающей их прямой равные углы, используется при вычерчивании параллельных прямых (рис. 2,м).

На рис. 2,к показано, как с помощью циркуля и линейки разделить пополам данный угол: прямая VA – биссектриса угла. На рис. 2,л показано, как удвоить данный угол.

Традиционно в элементарной геометрии выполнялись лишь геометрические построения, которые можно осуществить, используя только циркуль и линейку без делений. Общего подхода к таким построениям не существует, и успех почти целиком зависит от настойчивости и изобретательности. Так, например, может показаться, что задача о разделении угла на три равные части, т.н. трисекция угла, достаточно легка, поскольку сходная с ней задача деления угла пополам решается довольно просто. Однако на протяжении веков все усилия как любителей, так и профессионалов осуществить трисекцию угла неизменно оканчивались неудачей. Правда, эту задачу удалось решить, используя некоторые плоские кривые высших порядков, например, конхоиду и квадратриссу, а Архимед показал, как можно было бы решить задачу о трисекции угла с помощью линейки с двумя отметинами (рис. 2,н). В предложенном им решении задачи на ребре линейки откладывается расстояние МР, равное радиусу ON. Линейка кладется так, чтобы ее край проходил через точку N, тогда точка М попадает на продолжение прямой OL, а точка P – на окружность. Задача о трисекции угла эквивалентна поиску геометрического построения, позволяющего находить корни уравнения x³ – 2 = 0. В 1837 вопрос о трисекции был окончательно решен французским математиком П.Ванцелем, давшим строгое доказательство невозможности точной трисекции угла в общем случае с помощью циркуля и линейки.

Виды евклидовой геометрии

Мы разобрались, что такое геометрия. Рассмотрим, какие ее виды бывают. В рамках классического учения принято выделять два вида этой математической науки:

• Планиметрия. Она изучает свойство плоских объектов. Например, расчет площади треугольника или нахождение его неизвестных углов, определение периметра трапеции или длины окружности — это задачи планиметрии.
• Стереометрия. Объектами изучения этой ветви геометрии являются пространственные фигуры (все точки, которые их образуют, лежат в разных плоскостях, а не в одной). Так, определение объема пирамиды или цилиндра, изучение свойств симметрии куба и конуса — это примеры задач стереометрии.

Окружность

Окружность — это еще один объект, который полезно изучить. Ее легко описать, она задается одним параметром — радиусом. А еще часто встречается в физике и в обычной жизни. Например, когда капля падает в воду, от нее остаются следы — маленткие окружности.

Виды углов

С углами, отрезками и методом сравнения без использования вычислений мы познакомились. Теперь давайте узнаем, какие бывают виды углов в зависимости от градусной меры.

• Острый. Градусная мера <90 ˚

 

• Прямой. Градусная мера =90 ˚

 

• Тупой. Градусная мера >90 ˚

 

• Развернутый. Градусная мера =180 ˚. Развернутый угол, состоит из двух прямых углов.

 

Когда углы дополняют один другого, то они могут быть смежными углами и вертикальными углами.

Смежные углы – углы, у которых есть общая сторона, а из оставшихся сторон получается прямая линия.

Например:

Углы ∠ АСР и ∠РСВ являются смежными, так как сторона СР одна на двоих, а из сторон АС, СВ получается прямая линия. Сумма смежных углов равна 180 ˚.

Если стороны углов продолжают друг друга, составляя при этом прямые линии,то эти углы вертикальные.

Например:

Лучи углов 1 и 2 составляют прямые, поэтому они являются вертикальными, как и углы 3, 4.

Помните! Всегда вертикальные углы равны между собой: ∠1=∠2, ∠3=∠4.

Зная, что такое угол, из каких фигур он состоит,сделаем предположение, что из вершины угла можно провести большое количество лучей, но только один луч обладает интересным свойством – делит угол на два одинаковых угла и называется биссектрисой.

Делаем вывод, что биссектриса – луч, выходящий из вершины угла и делящий его ровно пополам. Основным свойством такого луча является равноудаленность от сторон угла всех точек, лежащих на нем.

Например:

Рассмотрим развернутый угол АСВ. Из вершины С проведем луч СМ, делящий его на два одинаковых угла – это и будет биссектриса. Каждая точка, лежащая на биссектрисе, находится на равном расстоянии от сторон угла.

Основные понятия геометрии

Понятие точки

Фигура, которую невозможно измерить, а для вычислений используется только место её расположения, называется точкой. Такие фигуры обозначают цифрами и буквами латиницы. Если точек много, то обозначения должны быть разными.

Точка — это абстрактный объект, который не имеет измерительных характеристик: ни высоты, ни длины, ни радиуса. В рамках задачи важно только его местоположение

Точка обозначается цифрой или заглавной (большой) латинской буквой. Несколько точек — разными цифрами или разными буквами, чтобы их можно было различать

Читается: точка A, точка B, точка C

Понятие линии

Линия представляет собой массу точек. Линии принято обозначать строчными буквами латиницы.

Например:

Линии бывают:

1. Прямые

2. Ломаные

3. Кривые

Часто в геометрии используются прямые линии. Давайте подробнее с ними познакомимся.

По определению, бесконечная линия, не имеющая ограничений, называется прямой. Обозначается маленькими и большими (выбирая 2 любые точки) буквами латиницы.

Например:

Читается: прямая а, прямая AD

Любые две точки на прямой ограничивают геометрическую фигуру – отрезок. Эти точки называются началом и концом отрезка. Фигура обозначается большими буквами латиницы.

Например:                                                                                                               

Читается: отрезок КВ, отрезок АС

Наличие точек дает возможность измерить длину. Длиной отрезка принято считать расстояние между точками, обозначающими начало и конец.

Например:

Расстояние между точками А, В равняется 7 сантиметрам. Считается, что отрезок АВ по длине соответствует 7 сантиметрам.

Записывается следующим образом: АВ=7см

Понятие луча

Рассматривая понятие луч, делаем вывод, что любая точка, лежащая на прямой, делит её на лучи. Сама точка называется началом лучей. Обозначаются большими буквами латиницы.

Например:

Читается: точка В разделяет прямую а на два луча

Чтобы определить нужный луч, на прямую необходимо нанести дополнительные точки.

Например:

Читается: точка А делит прямую с на два луча: луч А, луч АВ

Необходимо учитывать, что при записи обозначения луча на первом месте должна находиться буква, обозначающая начало луча.

Понятие угла

Геометрическая фигура, состоящая из точки и выходящих из неё двух лучей, называется углом. Лучи называют сторонами угла, а точку – вершиной угла.

Обозначается угол специальным знаком∠, также заглавными буквами латиницы, прописными греческими, цифрами.

Например

      

Записывается и читается: ∠ВАС (название вершины угла, обязательно записывается в середине) – угол ВАС, ∠β – угол бета

Для определения меры углов используется единица измерения – градус. Полный оборот луча вокруг своего начала составляет 360˚, значит, 1 градус равен 1/360. Для обозначения градуса существует специальный символ ˚.

Базовые геометрические объекты

Базовые геометрические фигуры — это точки, отрезки, лучи, прямые, плоскости.

Точка — это идеальный математический объект, у которого нет длины и ширины.

Отрезок — это часть прямой, у которого есть начало и конец.

Смежные отрезки — это отрезки, которые не лежат на одной прямой и имеют один общий конец. На рисунке изобразили смежные отрезки АВ и АС, где точка А — общий конец.

Прямая — это «не кривая». Более точное определение вряд ли можно сформулировать.

Когда мы рисуем прямую на листе бумаги, мы изображаем только ее часть, потому что прямая не имеет начала и конца.

Обозначать прямые принято малыми латинскими буквами (a, b, c), но можно и большими латинскими буквами (АВ, CD, MN). Точки всегда обозначают большими латинскими буквами (А, В, С).

Два варианта расположения точек относительно прямой:

1. Точки лежат на данной прямой. Или еще говорят, что прямая проходит через эти точки — на рисунке выше такими точками являются А и В. При решении задач для краткости используют запись A ∈ a (читается так: точка А принадлежит прямой a или точка А лежит на прямой a), аналогично будет и для точки В (B ∈ b).

2. Точки не лежат на данной прямой. Говорят так: прямая не проходит через эти точки — на рисунке такими точками являются С и D. При решении задач для краткости используют запись C ∉ a (читается так: точка С не принадлежит прямой a или точка С не лежит на прямой a), аналогично будет и для точки D (D ∉ a).

Важно знать

Через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

Если рассмотреть две прямые, то возможны два варианта их расположения:

1. Прямые пересекаются, то есть имеют одну общую точку.

   Для записи пересекающихся прямых используют специальный знак — ∩, то есть a∩b (читают: прямая a пересекает прямую b). Чтобы обозначить точку пересечения прямых, пишут a∩b = O (читается: прямая a пересекается с прямой b в точке O).

   

2. Прямые не пересекаются, то есть не имеют общих точек.

   Для записи не пересекающихся прямых используют специальный знак — , то есть m n (читают: прямая m не пересекает прямую n). В дальнейшем для обозначения не пересекающихся прямых мы будем использовать знак параллельности ||.

   

Луч — это часть прямой, ограниченная с одной стороны. Луч имеет начало, но не имеет конца.

На рисунке точка О разбивает прямую АВ на две части:

Каждая из этих частей называется лучом, а точка О является началом одного и другого луча.

Назовем получившиеся лучи:

• Луч ОА, точка О — начало луча ОА; конца у луча ОА нет.

• Луч ОВ, точка О — начало луча ОВ; конца у луча ОВ нет.

Лучи ОА и ОВ принадлежат одной прямой АВ. Лучи ОА и ОВ имеют общее начало (точка О). Лучи ОА и ОВ противоположно направлены. При таких условиях лучи ОА и ОВ называются дополнительными.

Плоскость — это бесконечная поверхность, к которой принадлежат все прямые, которые проходят через какие-либо две точки плоскости

Значение геометрии

Евк­ли­до­ва Г. при­ме­ня­ет­ся всю­ду, где име­ют де­ло с фи­гу­ра­ми и те­ла­ми, их пло­ща­дя­ми и объ­ё­ма­ми; напр., Г. ис­поль­зу­ет­ся в кар­то­гра­фии, гео­де­зии, ас­тро­но­мии, ме­ха­ни­ке, тех­ни­ке. Гео­мет­рич. ме­то­ды на­шли при­ме­не­ние в то­мо­гра­фии – эф­фек­тив­ном ин­ст­ру­мен­те мед. ди­аг­но­сти­ки. Ма­те­ма­ти­че­ски за­да­ча, ре­шае­мая в то­мо­гра­фии, сво­дит­ся к оты­ска­нию не­ко­то­рой не­из­вест­ной функ­ции по зна­че­ни­ям ин­те­гра­лов от неё вдоль все­воз­мож­ных пря­мых на плос­ко­сти. Этой и дру­ги­ми, по­хо­жи­ми на неё за­да­ча­ми за­ни­ма­ет­ся раз­дел Г., на­зы­вае­мый ин­те­граль­ной Г. Не­ко­то­рые эко­но­ми­ко-ма­те­ма­тич. мо­де­ли сво­дят­ся к ре­ше­нию гео­мет­рич. за­да­чи оп­ре­де­ле­ния плос­ко­сти, па­рал­лель­ной не­ко­то­рой за­дан­ной плос­ко­сти и яв­ляю­щей­ся опор­ной для за­дан­но­го вы­пук­ло­го мно­же­ст­ва, т. е. та­кой плос­ко­сти, что вы­пук­лое мно­же­ст­во ле­жит по од­ну сто­ро­ну от неё и име­ет с ней об­щую точ­ку при­кос­но­ве­ния. Раз­дел при­клад­ной ма­те­ма­ти­ки, за­ни­маю­щий­ся изу­че­ни­ем ме­то­дов ре­ше­ния та­ко­го ро­да задач на­зы­ва­ет­ся ли­ней­ным про­грам­ми­ро­ва­ни­ем. Ещё од­но при­ме­не­ние Г. свя­за­но с гео­мет­рич. кри­стал­ло­гра­фи­ей, по­слу­жив­шей ис­точ­ни­ком и об­ла­стью при­ло­же­ния тео­рии пра­виль­ных сис­тем фи­гур. Тен­зор­ное ис­чис­ле­ние, из­на­чаль­но по­стро­ен­ное для нужд диф­фе­рен­ци­аль­ной Г., ста­ло ра­бо­чим язы­ком совр. фи­зи­ки и ме­ха­ни­ки. В тео­ре­тич. фи­зи­ке ши­ро­ко ис­поль­зу­ет­ся тео­рия рас­сло­ён­ных про­странств.

Гео­мет­рич. тео­рии на­хо­дят ши­ро­кое при­ме­не­ние в ме­ха­ни­ке и фи­зи­ке, ко­гда со­во­куп­ность со­стоя­ний к.-л. сис­те­мы рас­смат­ри­ва­ет­ся как не­ко­то­рое про­ст­ран­ст­во. Так, все воз­мож­ные кон­фи­гу­ра­ции (вза­им­ные рас­по­ло­же­ния эле­мен­тов) ме­ха­нич. сис­те­мы об­ра­зу­ют кон­фи­гу­ра­ци­он­ное про­стран­ст­во, из­ме­не­ние со­стоя­ния сис­те­мы изо­бра­жа­ет­ся дви­же­ни­ем точ­ки в этом про­стран­ст­ве. Со­во­куп­ность всех со­стоя­ний фи­зич. сис­те­мы (в про­стей­шем слу­чае – по­ло­же­ния и ско­ро­сти об­ра­зую­щих сис­те­му ма­те­ри­аль­ных то­чек, напр. мо­ле­кул га­за) рас­смат­ри­ва­ет­ся как фа­зо­вое про­стран­ст­во сис­те­мы. Эта точ­ка зре­ния на­хо­дит, в ча­ст­но­сти, при­ме­не­ние в ста­ти­стич. фи­зи­ке. Впер­вые по­ня­тие о мно­го­мер­ном про­стран­ст­ве поя­ви­лось в свя­зи с ме­ха­ни­кой в ра­бо­тах Ж. Ла­гран­жа, ко­гда к трём про­стран­ст­вен­ным ко­ор­ди­на­там $х,у,z$ в ка­че­ст­ве чет­вёр­той фор­маль­но при­сое­ди­ня­ет­ся вре­мя $t$. Так по­яв­ля­ет­ся че­ты­рёх­мер­ное про­ст­ран­ст­во-вре­мя, где точ­ка оп­ре­де­ля­ет­ся че­тырь­мя ко­ор­ди­на­та­ми $х,у,z,t$. Этот взгляд по­лу­чил раз­ви­тие в гео­мет­ри­че­ской трак­тов­ке спец. тео­рии от­но­си­тель­но­сти (Г. Мин­ков­ский, 1908), а за­тем в по­строе­нии об­щей тео­рии от­но­си­тель­но­сти (А. Эйн­штейн, 1916), где ис­поль­зо­ва­лась че­ты­рёх­мер­ная псев­до­ри­ма­но­ва Г.

В са­мой ма­те­ма­ти­ке по­ло­же­ние и роль Г. оп­ре­де­ля­ют­ся пре­ж­де все­го тем, что че­рез неё в ма­те­ма­ти­ку вво­ди­лась не­пре­рыв­ность. Ма­те­ма­ти­ка как нау­ка стал­ки­ва­ет­ся пре­ж­де все­го с дис­крет­но­стью и не­пре­рыв­но­стью. Счёт отд. пред­ме­тов да­ёт ариф­ме­ти­ку, про­стран­ст­вен­ную не­пре­рыв­ность изу­ча­ет Г. Де­ле­ние не­пре­рыв­ных ве­ли­чин на час­ти и из­ме­ре­ние пред­став­ля­ют со­пос­тав­ле­ние дис­крет­но­го и не­пре­рыв­но­го; так, еди­ни­ца мас­шта­ба от­кла­ды­ва­ет­ся вдоль из­ме­ряе­мо­го от­рез­ка отд. ша­га­ми. В Древ­ней Гре­ции (ве­ро­ят­но, в 5 в. до н. э.) бы­ла от­кры­та не­со­из­ме­ри­мость сто­ро­ны и диа­го­на­ли квад­ра­та: дли­на диа­гона­ли квад­ра­та со сто­ро­ной 1 не вы­ра­жа­лась ни­ка­ким чис­лом, т. к. по­ня­тия ир­ра­цио­наль­но­го чис­ла ещё не су­ще­ст­во­ва­ло. По­тре­бо­ва­лось обоб­ще­ние по­ня­тия чис­ла, а имен­но, соз­да­ние по­ня­тия ир­ра­цио­наль­ных чис­ел, об­щая тео­рия ко­то­рых бы­ла соз­да­на в 1870-х гг. Пря­мая (а вме­сте с ней и вся­кая фи­гура) ста­ла рас­смат­ри­вать­ся как мно­же­ст­во то­чек. Те­перь эта точ­ка зре­ния яв­ля­ет­ся гос­под­ствую­щей. В из­вест­ном смыс­ле, поч­ти всю ма­те­ма­ти­ку мож­но рас­смат­ри­вать как нау­ку, раз­ви­ваю­щую­ся из взаи­мо­дей­ст­вия ал­геб­ры (пер­во­на­чаль­но ариф­ме­ти­ки) и Г. Это вид­но уже в по­ня­тии со­во­куп­но­сти всех ве­щест­вен­ных чи­сел как чи­сло­вой пря­мой, со­еди­няю­щей ариф­ме­тич. свой­ст­ва чи­сел с не­пре­рыв­но­стью.

Мож­но от­ме­тить сле­дую­щие мо­мен­ты влия­ния Г. на раз­ви­тие ма­те­ма­ти­ки.

1) В воз­ник­но­ве­нии и раз­ви­тии ма­те­ма­тич. ана­ли­за Г. на­ря­ду с ме­ха­ни­кой име­ла ре­шаю­щее зна­че­ние. Ин­тег­ри­ро­ва­ние про­ис­хо­дит от за­да­чи вы­чис­ле­ния пло­ща­дей и объ­ё­мов, изу­чав­шей­ся ещё древ­ни­ми учё­ны­ми, при­чём пло­щадь и объ­ём как ве­ли­чи­ны счи­та­лись оп­ре­де­лён­ны­ми; ни­ка­кое ана­ли­тич. оп­ре­де­ле­ние ин­те­гра­ла не да­ва­лось до 1-й пол. 19 в. Про­ве­де­ние ка­са­тель­ных бы­ло од­ной из за­дач, по­ро­див­ших диф­фе­рен­ци­ро­ва­ние. Гра­фич. пред­став­ле­ние функ­ций сыг­ра­ло важ­ную роль в вы­ра­бот­ке по­ня­тий ана­ли­за и до сих пор со­хра­ня­ет своё зна­че­ние. В са­мой тер­ми­но­ло­гии ана­ли­за ви­ден гео­мет­рич. ис­точ­ник его по­ня­тий, как, напр., в тер­ми­нах «точ­ка раз­ры­ва», «об­ласть из­ме­не­ния пе­ре­мен­ной» и т. п. Тео­рия обык­но­вен­ных диф­фе­рен­ци­аль­ных урав­не­ний в бoльшей час­ти трак­ту­ет­ся гео­мет­ри­че­ски, важ­ную роль в этой тео­рии иг­ра­ют т. н. ин­те­граль­ные кри­вые. Ва­риа­ци­он­ное ис­чис­ле­ние воз­ник­ло и раз­ви­ва­ет­ся в боль­шой ме­ре на за­да­чах Г., и её по­ня­тия иг­ра­ют в нём важ­ную роль.

2) Ком­плекс­ные чис­ла окон­ча­тель­но ут­вер­ди­лись в ма­те­ма­ти­ке на ру­бе­же 18–19 вв. толь­ко вслед­ст­вие со­пос­тав­ле­ния их с точ­ка­ми плос­ко­сти, т. е. пу­тём по­строе­ния ком­плекс­ной плос­ко­сти. В тео­рии функ­ций ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го гео­мет­рич. ме­то­дам от­во­дит­ся су­ще­ст­вен­ная роль. По­ня­тия и ме­то­ды ри­ма­но­вой Г. на­хо­дят при­ме­не­ние как в тео­рии функ­ций од­ной ком­плекс­ной пе­ре­мен­ной, так и в тео­рии функ­ций не­сколь­ких ком­плекс­ных пе­ре­мен­ных.

3) Осн. идея функ­цио­наль­но­го ана­ли­за со­сто­ит в том, что функ­ции дан­но­го клас­са (напр., все не­пре­рыв­ные функ­ции, за­дан­ные на от­рез­ке [0,1]) рас­смат­ри­ва­ют­ся как точ­ки функ­цио­наль­но­го про­стран­ст­ва, при­чём от­но­ше­ния ме­ж­ду функ­ция­ми ис­тол­ко­вы­ва­ют­ся как гео­мет­рич. от­но­ше­ния ме­ж­ду со­от­вет­ст­вую­щи­ми точ­ка­ми (напр., схо­ди­мость функ­ций ис­тол­ко­вы­ва­ет­ся как схо­ди­мость то­чек, мак­си­мум аб­со­лют­ной ве­ли­чи­ны раз­но­сти функ­ций – как рас­стоя­ние). При этом мн. во­про­сы ана­ли­за по­лу­ча­ют гео­мет­рич. ос­ве­ще­ние, ока­зы­ваю­щее­ся пло­до­твор­ным во мно­гих слу­ча­ях. Во­об­ще, пред­став­ле­ние тех или иных ма­те­ма­тич. объ­ек­тов (функ­ций, фи­гур и др.) как то­чек не­ко­то­ро­го про­стран­ст­ва с со­от­вет­ст­вую­щим гео­мет­рич. тол­ко­ва­ни­ем от­но­ше­ний этих объ­ек­тов яв­ля­ет­ся од­ной из наи­бо­лее об­щих идей совр. ма­те­ма­ти­ки.

4) Г. ока­зы­ва­ет влия­ние на ал­геб­ру, где ис­поль­зу­ет­ся, напр., по­ня­тие век­тор­но­го про­стран­ст­ва, и на тео­рию чи­сел, где соз­да­но гео­мет­рич. на­прав­ле­ние, по­зво­ляю­щее ре­шать мн. за­да­чи, с тру­дом под­даю­щие­ся ре­ше­нию др. ме­то­да­ми.

5) Ло­гич. усо­вер­шен­ст­во­ва­ние и ана­лиз ак­сио­ма­ти­ки Г. сыг­ра­ли оп­ре­де­ляющую роль в вы­ра­бот­ке аб­ст­ракт­ной фор­мы ак­сио­ма­тич. ме­то­да с его пол­ным от­вле­че­ни­ем от при­ро­ды объ­ек­тов и от­но­ше­ний, фи­гу­ри­рую­щих в ак­сио­ма­ти­зи­руе­мой тео­рии. В Г. вы­ра­ба­ты­ва­лись по­ня­тия не­про­ти­во­ре­чи­во­сти, пол­но­ты и не­за­ви­си­мо­сти ак­си­ом.

6) Диф­фе­рен­ци­аль­ная то­по­ло­гия, в ко­то­рой изу­ча­ют­ся то­по­ло­гич. про­бле­мы глад­ких мно­го­об­ра­зий, во мно­гих слу­ча­ях тес­но пе­ре­пле­та­ет­ся с диф­фе­рен­ци­аль­ной Г. При изу­че­нии за­дач Г. в це­лом не­ред­ко воз­ни­ка­ют си­туа­ции, ко­гда не­ко­то­рые гео­мет­рич. ха­рак­те­ри­сти­ки рас­смат­ри­вае­мых объ­ек­тов мо­гут быть пред­став­ле­ны с по­мо­щью не­ко­то­рых то­по­ло­гич. ин­ва­ри­ан­тов. Од­но из на­прав­ле­ний диф­фе­рен­ци­аль­ной то­по­ло­гии – тео­рия Ход­жа, по­стро­ен­ная в 1930-е гг. В этой тео­рии исполь­зу­ют­ся ме­то­ды и по­ня­тия ри­ма­но­вой Г., тео­рии урав­не­ний в ча­ст­ных про­из­вод­ных и функ­цио­наль­но­го ана­ли­за.

Теги